Men i allmänhet, om vi har en opartisk MLE, skulle det också vara det bästa opartisk uppskattare?

Om det finns en fullständig tillräcklig statistik, yes.

Bevis:

• Lehmann – Scheffé-teorem: Alla opartiska uppskattare som är en funktion av en fullständig tillräcklig statistik är bäst (UMVUE).
• MLE är en funktion av tillräcklig statistik. Se 4.2.3 här;

Således är en opartisk MLE nödvändigtvis den bästa så länge det finns en fullständig statistik.

Men faktiskt har detta resultat nästan inget fall av tillämpning eftersom en fullständig statistik nästan aldrig existerar. Det beror på att fullständig tillräcklig statistik existerar (i huvudsak) endast för exponentiella familjer där MLE oftast är partisk (förutom Gaussians platsparameter).

Så det riktiga svaret är faktiskt no.

Ett allmänt räkneexempel kan ges: vilken platsfamilj som helst med sannolikheten $ p_ \ theta (x) = p (x- \ theta $) med $ p $ symmetrisk runt 0 ($ \ forall t \ in \ mathbb {R } \ quad p (-t) = p (t) $). Med provstorlek $ n $ gäller följande:

• MLE är opartisk
• det domineras av en annan opartisk uppskattare som kallas Pitmans likvärdiga uppskattare

Oftast är dominansen strikt så MLE är inte ens tillåtet. Det bevisades när $ p $ är Cauchy men jag antar att det är ett allmänt faktum. Således kan MLE inte vara UMVU. För dessa familjer är det faktiskt känt att det under milda förhållanden aldrig finns något UMVUE. Exemplet studerades i denna fråga med referenser och några bevis.

Enligt min mening är frågan inte riktigt sammanhängande genom att maximering av en sannolikhet och opartiskhet inte överensstämmer, inte bara för att maximala sannolikhetsuppskattare är ekvivalenta , dvs transformationen av uppskattaren är uppskattaren av omvandlingen av parametern, medan opartiskhet inte står under icke-linjära omvandlingar. Därför är uppskattningar av maximal sannolikhet nästan aldrig opartiska, om "nästan" anses vara inom ramen för alla möjliga parametriseringar.

Det finns dock ett mer direkt svar på frågan: när man överväger uppskattningen av Normalvariansen, $ \ sigma ^ 2 $, är UMVUE för $ \ sigma ^ 2 $ $$ \ hat {\ sigma} ^ 2_n = \ frac {1} {n-1} \ sum_ {i = 1} ^ n \ {x_i- \ bar {x} _n \} ^ 2 $$ medan MLE på $ \ sigma ^ 2 $ är $$ \ check {\ sigma} ^ 2_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n \ {x_i- \ bar {x} _n \} ^ 2 $$ Ergo, de skiljer sig åt. Detta innebär att

om vi har en bästa vanliga opartiska uppskattare, måste den vara maximalt sannolikhetsuppskattning (MLE).

gäller inte i allmänhet.

Observera vidare att även om det finns opartiska uppskattare av en parameter $ \ theta $, finns det inte nödvändigtvis en bästa opartiska minsta variansberäkare (UNMVUE).

MLE: s asymptotiska avvikelse är UMVUE, dvs uppnår cramer rao nedre gräns, men ändlig avvikelse kanske inte är UMVUE för att se till att uppskattaren är UMVUE. Det bör vara tillräckligt och fullständig statistik eller vilken funktion som helst av den statistiken.

Kort sagt, en estimator är UMVUE, om den är opartisk och funktionen av en fullständig och tillräcklig statistik.(Se Rao-Blackwell och Scheffe)