Ett sätt att närma sig problemet är att börja med överlevnadsfunktionen. För att behöva vänta minst $ t $ minuter måste du vänta i minst $ t $ minuter för både det röda och det blå tåget. Således är den övergripande överlevnadsfunktionen bara en produkt av de enskilda överlevnadsfunktionerna:

$$ S (t) = \ left (1 - \ frac {t} {10} \ right) \ left (1- \ frac {t} {15} \ right) $$

vilket för $ 0 \ le t \ le 10 $ är sannolikheten att du måste vänta minst $ t $ minuter för nästa tåg. Detta tar hänsyn till förtydligandet av OP i en kommentar att de korrekta antagandena är att varje tåg är på en fast tidtabell oberoende av det andra och av resenärens ankomsttid, och att faserna i de två tågen är jämnt fördelade ,

Sedan erhålls pdf som

$$ p (t) = (1-S (t)) '= \ frac {1} {10} \ left (1- \ frac {t} {15} \ right) + \ frac {1} {15} \ left (1- \ frac {t} {10} \ right) $$

Och det förväntade värdet erhålls på vanligt sätt:

$ E [t] = \ int_0 ^ {10} tp (t) dt = \ int_0 ^ {10} \ frac {t} {10} \ left (1- \ frac {t} {15} \ right ) + \ frac {t} {15} \ left (1- \ frac {t} {10} \ right) dt = \ int_0 ^ {10} \ left (\ frac {t} {6} - \ frac {t ^ 2} {75} \ höger) dt $,

som fungerar till $ \ frac {35} {9} $ minuter.

Svaret är $$ E [t] = \ int_x \ int_y \ min (x, y) \ frac 1 {10} \ frac 1 {15} dx dy = \ int_x \ left (\ int_ {y<x} ydy +\ int_ {y>x} xdy \ höger) \ frac 1 {10} \ frac 1 {15} dx $$ Få delarna inuti paranteserna: $$ \ int_ {y<x} ydy = y ^ 2/2 | _0 ^ x = x ^ 2/2 $$ $$ \ int_ {y>x} xdy = xy | _x ^ {15} = 15x-x ^ 2 $$ Så delen är: $$ (.) = \ left (\ int_ {y<x} ydy + \ int_ {y>x} xdy \ right) = 15x-x ^ 2/2 $$ Slutligen, $$ E [t] = \ int_x (15x-x ^ 2/2) \ frac 1 {10} \ frac 1 {15} dx = (15x ^ 2/2-x ^ 3/6) | _0 ^ {10} \ frac 1 {10} \ frac 1 {15} \\ = (1500 / 2-1000 / 6) \ frac 1 {10} \ frac 1 {15} = 5-10 / 9 \ ca 3,89 $$

Här är MATLAB-koden att simulera:

  nsim = 10000000;
röd = rand (nsim, 1) * 10;
blå = rand (nsim, 1) * 15;
nästa buss = min ([röd, blå], [], 2);
medelvärde (nästa buss)
 

Förutsatt att varje tåg är på en fast tidtabell oberoende av det andra och av resenärens ankomsttid, är sannolikheten att inget tåg anländer under de första $ x $ minuterna $ \ frac {10-x} {10} \ gånger \ frac{15-x} {15} $ för $ 0 \ le x \ le 10 $, som när det är integrerat ger $ \ frac {35} 9 \ ca 3.889 $ minuter

Alternativt, förutsatt att varje tåg är en del av en Poisson-process, är den gemensamma hastigheten $ \ frac {1} {15} + \ frac {1} {10} = \ frac {1} {6} $ tåg per minutvilket gör den förväntade väntetiden $ 6 $ minuter

Jag har förmodligen fel men antar att varje tågs starttid följer en enhetlig fördelning, skulle jag säga att när jag anländer till stationen vid en slumpmässig tid förväntad väntetid på:

1. $ R $ ed-tåget är $ \ mathbb {E} [R] = 5 $ min
2. $ B $ lue-tåget är $ \ mathbb {E} [B] = 7,5 $ min
3. tåget som kommer först är $ \ mathbb {E} [\ min (R, B)] = \ frac {15} {10} (\ mathbb {E} [B] - \ mathbb {E} [R]) = \ frac {15} {4} = 3,75 $ minuter

Antag att röda och blå tåg anländer i tid enligt schemat, med det röda schemat som börjar $ \ Delta $ minuter efter det blå schemat, för ungefär $ 0 \ le \ Delta<10 $. Förvisso antar att det första blåa tåget anländer vid tiden $ t = 0 $.

Antag nu att $ \ Delta $ ligger mellan $ 0 $ och $ 5 $ minuter. Mellan $ t = 0 $ och $ t = 30 $ minuter ser vi följande tåg och interarrival tider: blåttåg, $ \ Delta $, rött tåg, $ 10 $, rött tåg, $ 5- \ Delta $, blåttåg, $ \ Delta + 5 $, rött tåg, $ 10- \ Delta $, blåttåg. Då upprepas schemat och börjar med det sista blå tåget.

Om $ W_ \ Delta (t) $ betecknar väntetiden för en passagerare som anländer till stationen vid tidpunkten $ t $, så är diagrammet för $ W_ \ Delta (t) $ mot $ t $ styckvis linjärt, med varje linjesegment förfaller till noll med lutningen $ -1 $. Så den genomsnittliga väntetiden är området från $ 0 $ till $ 30 $ för en rad trianglar, dividerat med $ 30 $. Detta ger $$ \ begin {align} \ bar W_ \ Delta &: = \ frac1 {30} \ left (\ frac12 [\ Delta ^ 2 + 10 ^ 2 + (5- \ Delta) ^ 2 + (\ Delta + 5) ^ 2 + (10- \ Delta) ^ 2] \ höger) \\ & = \ frac1 {30} (2 \ Delta ^ 2-10 \ Delta + 125). \ end {align} $$ Observera att i ovanstående utveckling finns ett rött tåg som anländer $ \ Delta + 5 $ minuter efter ett blått tåg. Eftersom schemat upprepas var 30: e minut, avsluta $ \ bar W_ \ Delta = \ bar W _ {\ Delta + 5} $, och det räcker att överväga $ 0 \ le \ Delta<5 $.

Om $ \ Delta $ inte är konstant utan istället en jämnt fördelad slumpmässig variabel, får vi en genomsnittlig genomsnittlig väntetid på $$ \ frac15 \ int _ {\ Delta = 0} ^ 5 \ frac1 {30} (2 \ Delta ^ 2-10 \ Delta + 125) \, d \ Delta = \ frac {35} 9. $$

Detta är en Poisson-process. Det röda tåget anländer enligt en Poisson-fördelning med parameter 6 / timme.
Det blå tåget anländer också enligt en Poisson-fördelning med hastighet 4 / timme. Ankomster av röda tåg och blå tågankomster är oberoende. Totalt antal tågankomster är också Poisson med hastighet 10 / timme.Sedan summan av Tiden mellan tåg anländer är exponentiell med genomsnittliga 6 minuter.Eftersom det exponentiella medelvärdet är det ömsesidiga av Poisson-hastighetsparametern. Eftersom den exponentiella distributionen är minneslös är din förväntade väntetid 6 minuter.