Det finns inget behov av att använda simulering för detta, det allmänna fallet är ganska lätt att analysera. Låt $ n $ vara antalet tärningar och $ X $ vara det maximala kastet när du kastar $ n $ tärningar.

Det följer att $$ P (X \ leq 1) = \ left (\ frac {1} {6} \ höger) ^ n $$ och i allmänhet $$ P (X \ leq k) = \ vänster (\ frac {k} {6} \ höger) ^ n $$ för $ k $ mellan 1 och 6. Därför kan vi få $$ P (X = k) = P (x \ leq k) - P (x \ leq k-1) = \ left (\ frac {k} {6} \ höger) ^ n- \ left (\ frac {k-1} {6} \ right) ^ n. $$

Så vi kan skriva ner sannolikhetsfördelningen i sluten form. Genom att göra detta för $ n = 2 $ får du det förväntade värdet 4.472222.

Jag föreslår att du bara går igenom det triviala fallet för att se svaret.

Möjliga resultat från att rulla två tärningar genererar en 6x6 matris: $$ \ begin {bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2 , 2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \ end {bmatrix} $$

Det förväntade värdet av summan är 7. Detta är fallet eftersom rullarna är identiska oberoende ritningar, så de kan summeras. Förväntningen att rulla en rättvis kubisk form är 3,5.

Men du frågar om maximering. Låt oss nu räkna maximeringen från att kasta två tärningar. Återigen är det en 6x6 matris: $$ \ begin {bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \ end {bmatrix} $$

Beräkna det förväntade värdet, så här: $$ E [x] = \ Sigma (xP (x)) = 1/36 (1) + 1/36 (2) + ... + 1/36 (6) \ ca 4,47 $$.

Lägg märke till att rulla $ n $ tärningar motsvarar (i en sannolik bemärkelse) att rulla en död $ n $ gånger. Så för att rulla $ n $ tärningar kan du se hur matrisen ändras och hur den resulterande förväntningen ändras också.

Experimentet kan också simuleras. Detta tillvägagångssätt är användbart när det är svårt att räkna (som att kasta 3 tärningar).

  # fixa fröet för reproducerbarhetset.seed (123) # simulera par dicerolls = matris (prov (1: 6, 2000000, ersätt = T), ncol = 2) # beräkna förväntat värde (applicera (rullar, 1, max)) [1] 4.471531  

Förutsatt att var och en av de 36 kombinationerna har lika sannolikhet måste vi bara lägga till värdena för var och en av de 36 kombinationerna och dela med 36 för att få genomsnittet:

1. 1 möjlighet: 11
2. 3 möjligheter: 12, 21, 22
3. 5 möjligheter: 13, 23, 31, 32, 33
4. 7 möjligheter: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
5. 9 möjligheter: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
6. 11 möjligheter: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11 ) / 36 = 4,47222 ..

Troll Dice Roller är verktyget för att hitta tärningssannolikheter. Han har ett papper som förklarar implementeringen, men det är ganska akademiskt.

max (2d6) avkastning

  1 - 2,8% 2 - 8,3% 3 - 13,9% 4 - 19,4% 5 - 25% 6 - 30,6% Medelvärde = 4,47222222222Spread = 1,40408355068 Medelavvikelse = 1,1975308642