För att svara på din fråga om "ett bra, idealiskt snabbt sätt att generera korrelerade slumptal": Med tanke på en önskad varians-kovariansmatris $ C $ som per definition är positiv, är Cholesky sönderdelning av den: $ C $ = $ LL ^ T $; $ L $ är lägre triangulär matris.

Om du nu använder denna matris $ L $ för att projicera en okorrelerad slumpmässig variabelvektor $ X $ blir den resulterande projektionen $ Y = LX $ den för korrelerade slumpmässiga variabler.

Du kan hitta en kortfattad förklaring till varför detta händer här.

+1 till @ user11852 och @ jem77bfp, det här är bra svar. Låt mig närma mig detta från ett annat perspektiv, inte för att jag tycker att det nödvändigtvis är bättre i praktiken utan för att jag tycker att det är lärorikt. Här är några relevanta fakta som vi redan vet:

1. $ r $ är regressionslinjens lutning när både $ X $ och $ Y $ är standardiserade , dvs $ \ mathcal N (0,1) $,

2. $ r ^ 2 $ är andelen av variansen i $ Y $ hänförlig till variansen i $ X $,

   
   
   (även från regler för avvikelser):

3. variansen för en slumpmässig variabel multiplicerad med en konstant är konstant kvadrat gånger den ursprungliga variansen:
   $$ \ text {Var} [aX] = a ^ 2 \ text {Var} [X] $$
4. varians add , dvs variansen av summan av två slumpmässiga variabler (förutsatt att de är oberoende) är summan av de två varianserna:
   $$ \ text {Var} [X + \ varepsilon] = \ text {Var} [X] + \ text {Var} [\ varepsilon] $$

Nu kan vi kombinera dessa fyra fakta för att skapa två vanliga normala variabler vars populationer kommer att ha en given korrelation, $ r $ (mer korrekt, $ \ rho $), även om de prover du genererar kommer att ha provkorrelationer som varierar. Tanken är att skapa en pseudorandom-variabel, $ X $, det vill säga normal, $ \ mathcal N (0,1) $, och sedan hitta en koefficient, $ a $ och en felvarians, $ v_e $, så att $ Y \ sim \ mathcal N (0, a ^ 2 + v_e) $, där $ a ^ 2 + v_e = 1 $. (Observera att $ | a | $ måste vara $ \ le 1 $ för att detta ska fungera, och att dessutom $ a = r $.) Således börjar du med $ r $ som du vilja; det är din koefficient, $ a $. Då räknar du ut den felvarians som du behöver, det är $ 1-r ^ 2 $. (Om din programvara kräver att du använder standardavvikelsen, ta kvadratroten av det värdet.) Slutligen, för varje pseudorandom-variat, $ x_i $, som du har genererat, generera en pseudorandom-felvariat, $ e_i $, med lämplig felvarians $ v_e $, och beräkna den korrelerade pseudorandomvarianten, $ y_i $, genom att multiplicera och lägga till.

Om du vill göra detta i R kan följande kod fungera för dig:

  correlatedValue = function (x, r) {r2 = r ** 2 ve = 1-r2 SD = sqrt (ve) e = rnorm (längd (x), medelvärde = 0, sd = SD) y = r * x + e retur (y)} uppsättning .frö (5) x = rnorm (10000) y = korreleradVärde (x = x, r = .5) cor (x, y) [1] 0.4945964  

(Redigera: Jag glömde att nämna :) Som jag har beskrivit det, ger denna procedur dig två vanliga normala korrelerade variabler. Om du inte vill ha standard normaler men vill att variablerna ska ha vissa specifika medel (inte 0) och SD (inte 1) kan du transformera dem utan att påverka korrelationen. Således skulle du subtrahera det observerade medelvärdet för att säkerställa att medelvärdet är exakt $ 0 $, multiplicera variabeln med den SD du vill ha och lägg sedan till det medelvärde du vill ha. Om du vill att det observerade medelvärdet ska fluktuera normalt runt det önskade medelvärdet, skulle du lägga till den ursprungliga skillnaden tillbaka. I grund och botten är detta en omvandling av z-poäng. Eftersom detta är en linjär transformation kommer den transformerade variabeln att ha samma korrelation med den andra variabeln som tidigare.

Återigen låter det här, i sin enklaste form, bara generera ett par av korrelerade variabler (detta kan skalas upp, men blir ful snabbt), och är verkligen inte bekvämaste sättet att få jobbet gjort. I R vill du använda ? Mvrnorm i paketet MASS, både för att det är lättare och för att du kan generera många variabler med en given populationskorrelationsmatris. Ändå tycker jag att det är värt att ha gått igenom denna process för att se hur några grundläggande principer spelar ut på ett enkelt sätt.

I allmänhet är detta inte en enkel sak att göra, men jag tror att det finns paket för multivariat normal variabel generation (åtminstone i R, se mvrnorm i MASS -paket), där du bara matar in en kovariansmatris och en medelvektor.

Det finns också en "konstruktiv" strategi. Låt oss säga att vi vill modellera en slumpmässig vektor $ (X_1, X_2) $ och vi har dess fördelningsfunktion $ F (x_1, x_2) $. Det första steget är att få marginalfördelningsfunktionen; dvs. integrera $ F $ över alla $ x_2 $: $$ F_ {X_1} (x_1) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F (x_1, x_2) dx_2. $$ Sedan hittar vi $ F ^ {- 1} _ {X_1} $ - den inversa funktionen $ F_ {X_1} $ - och kopplar in en slumpmässig variabel $ \ xi_1 $ som fördelas jämnt på intervallet $ [0, 1] $. I det här steget genererar vi den första koordinaten $ \ hat {x} _1 = F ^ {- 1} _ {X_1} (\ xi) $.

Nu eftersom vi har en koordinat behöver vi för att ansluta den till vår ursprungliga distributionsfunktion $ F (x_1, x_2) $ och sedan få en villkorlig fördelningsfunktion med villkor $ x_1 = \ hat {x} _1 $: $$ F (x_2 | X_1 = \ hat {x} _1) = \ frac {F (\ hat {x} _1, x_2)} {f_ {X_1} (\ hat {x} _1)}, $$ där $ f_ {X_1} $ är en sannolikhetsdensitetsfunktion för marginalen $ X_1 $ distribution; dvs $ F '_ {X_1} (x_1) = f_ {X_1} (x_1) $.

Sedan genererar du igen en jämnt fördelad variabel $ \ xi_2 $ på $ [0,1] $ (oberoende av $ \ xi_1 $) och anslut den till det inverse av $ F (x_2 | X_1 = \ hat {x} _1) $. Därför får du $ \ hat {x} _2 = (F (x_2 | X_1 = \ hat {x} _1)) ^ {- 1} (\ xi) $; det vill säga $ \ hat x_2 $ uppfyller $ F (\ hat x_2 | X_1 = \ hat {x} _1) = \ xi $. Denna metod kan generaliseras till vektorer med fler dimensioner, men dess nackdel är att du måste beräkna, analytiskt eller numeriskt, många funktioner. Idén finns också i den här artikeln: http://www.econ-pol.unisi.it/dmq/pdf/DMQ_WP_34.pdf.

Om du inte förstår innebörden av att ansluta en enhetlig variabel till en invers sannolikhetsfördelningsfunktion, försök att göra en skiss av det univariata fallet och kom ihåg vad den geometriska tolkningen av den inversa funktionen är.

Om du är redo att ge upp effektiviteten kan du använda en kastalogoritm. Dess fördel är att den möjliggör alla typer av distributioner (inte bara Gaussiska).

Börja med att generera två okorrelerade sekvenser av slumpmässiga nummer $ \ {x_i \} _ {i = 1} ^ N $ och $ \ {y_i \} _ {i = 1} ^ N $ med önskade distributioner. Låt $ C $ med önskat värde på korrelationskoefficienten. Gör sedan följande:

1) Beräkna korrelationskoefficient $ c_ {old} = corr (\ {x_i \}, \ {y_i \}) $

2) Skapa två slumpmässiga munbers $ n_1 $ och $ n_2: 1 \ leq n_ {1,2} \ leq N $

3) Byt nummer $ x_ {n_1} $ och $ x_ {n_2} $

4) Beräkna ny korrelation $ c_ {new} = corr (\ {x_i \}, \ {y_i \}) $

5) Om $ | C-c_ {new} | < | C-c_ {gammal} | $ behåll sedan bytet. Ångra annars bytet.

6) Om $ | C-c | < \ epsilon $ stopp, annars går 1)

Slumpmässiga byten ändrar inte marginalfördelningen för $ {x_i} $ .

Lycka till!