Jag rekommenderar Rob Hyndmans artikel från 1996 "Computing and Graphing Highest Density Regions" i The American Statistician . Här är definitionen av HDR, hämtad från den artikeln:

Låt $ f (x) $ vara densitetsfunktionen för en slumpmässig variabel $ X $. Då är $ 100 (1- \ alpha) \% $ HDR delmängden $ R (f_ \ alpha) $ för provutrymmet på $ X $ så att $$ R (f_ \ alpha) = \ {x \ colon f ( x) \ geq f_ \ alpha \}, $$ där $ f_ \ alpha $ är den största konstanten så att $$ P \ big (X \ i R (f_ \ alpha) \ big) \ geq 1- \ alpha. $ $

Figur 1 från den artikeln illustrerar skillnaden mellan 75% HDR (så $ \ alpha = 0,25 $) och olika andra 75% sannolikhetsregioner för en blandning av två normaler ($ c_q $ är $ q $ -th-kvantilen, $ \ mu $ medelvärdet och $ \ sigma $ standardavvikelsen för densiteten):

Idén i ett dimensionen är att ta en horisontell linje och flytta den uppåt (till $ y = f_ \ alpha $) tills området ovanför den och under densiteten är $ 1- \ alpha $. Då är HDR $ R_ \ alpha $ projektionen till $ x $ -axeln för detta område.

Naturligtvis fungerar allt detta med vilken densitet som helst, oavsett om det är Bayesian bakre eller annat.

Här är en länk till R-kod, som är hdrcde -paketet (och till artikeln om JSTOR).

En högsta posterior densitet [intervall] är i grunden det kortaste intervallet på en posterior densitet för en viss konfidensnivå. En region med högsta densitet är troligen samma idé som tillämpas på alla godtyckliga densiteter, så inte nödvändigtvis en posterior fördelning.

Om $ 1- \ alpha $ är din konfidensnivå kan du alltid hitta två kvantiteter $ q_ {1- \ alpha / 2 + c} $, $ q _ {\ alpha / 2 -c} $ som ger dig ett arbetsintervall. Det finns dock ett gäng, och de har alla olika längder. Du vill ha det kortaste.

Om din densitet $ f (\ cdot) $ är unimodal, kommer det kortaste intervallet att inträffa vid de två kvantiteterna $ a $ och $ b $ så att $ f (a) = f (b) $ .

Hyndman (1996):

• Regionen som täcker provutrymmet för en given sannolikhet 1-α, bör ha minsta möjliga volym.

• Varje punkt i regionen bör ha sannolikhetstätheten minst lika stor som varje punkt utanför regionen.

sådana regioner kallas highest density regions (HDR's)

En av de mest utmärkande egenskaperna hos HDR är att HDR har alla minsta möjliga regioner med sannolikhetstäckning i provutrymmet. ”Minsta” betyder med avseende på någon enkel åtgärd som den vanliga Lebesgue-åtgärden; i det endimensionella kontinuerliga fallet som skulle vara det kortaste intervallet, och i det tvådimensionella fallet skulle det vara det minsta området på ytan. I Bayesian-analys kallas ett liknande tillvägagångssätt highest posterior density region (HPD) och posterior densitet används som ett mått.

HPD är en av metoderna för att definiera ett trovärdigt intervall i Bayesiansk statistik.

Ett credible interval är ett intervall inom vilket ett icke observerat parametervärde faller med en viss sannolikhet. Det är ett intervall inom en posterior sannolikhetsfördelning eller en prediktiv fördelning. Generaliseringen till multivariata problem är credible region.

Credible intervall är inte unika på en posterior fördelning. Metoder för att definiera ett lämpligt trovärdigt intervall inkluderar:

• Att välja det smalaste intervallet, vilket för en unimodal fördelning kommer att innebära att du väljer de värden med högsta sannolikhetstäthet inklusive läget (maximalt efteråt). Detta kallas ibland highest posterior density interval (HPDI) .
• Välja intervallet där sannolikheten för att vara under intervallet är lika sannolikt som att vara över det.Detta intervall inkluderar medianen.Detta kallas ibland equal-tailed interval.
• Förutsatt att medelvärdet existerar väljer du det intervall för vilket medelvärdet är den centrala punkten.